SABCD est une pyramide régulière. Sa base est le carré ABCD de centre 0 tel que AB = 18 cm. Sa hauteur [SO] mesure 12 cm. Le point H est le milieu du côté [BC].

Enoncé

SABCD est une pyramide régulière. Sa base est le carré ABCD de centre 0 tel que AB = 18cm. Sa hauteur [SO] mesure 12cm. Le point H est le milieu du côté [BC].

Questions

1. Calculer le volume de la pyramide

2. 

a. Calculer la longueur OH.

b. Calculer la longueur SH

3. 

a. Démontrer que la droite SH est perpendiculaire à la droite (BC)

b. Calculer l'aire latérale de la pyramide

Réponses

1. V  = (Aire de la base x Hauteur) / 3 = (18 x 18 x 12)/3 = 1 296 cm³

2. 

a. Dans le triangle ABC, le segment qui joint le milieu du 2^ème côté est égale à la moitié du 3^ème côté. 

Donc [OH] = [AB]/2 = 18/2 = 9cm

b. On sait que le triangle SOH est rectangle en O et SH est l'hypoténuse. 

On applique le théorème de Pythagore.

Donc SH² = OH²+OS² = 92+122 = 81x144 = 225

SH = racine carré de 225 = 15cm

3. 

a. On sait que le triangle BSC est isocèle. SH est donc la médiane. 

Or dans un triangle isocèle ou équilatéral, la médiane relative à la base est aussi la hauteur relative à la base. 

Donc (SH) est perpendiculaire à (BC)

b. Dans une pyramide à base régulière, chaque face latérale est un triangle isocèle. 

Donc l'aire d'une face latéral = (base x hauteur) / 2 = (18x15)/2 = 135 cm²

Or il y a 4 faces latérales donc 135x4 = 540 cm²