SABCD est une pyramide régulière. Sa base est le carré ABCD de centre 0 tel que AB = 18 cm. Sa hauteur [SO] mesure 12 cm. Le point H est le milieu du côté [BC].



Enoncé
SABCD est une pyramide régulière. Sa base est le carré ABCD de centre 0 tel que AB = 18cm. Sa hauteur [SO] mesure 12cm. Le point H est le milieu du côté [BC].

Questions
1. Calculer le volume de la pyramide

2. 
a. Calculer la longueur OH.
b. Calculer la longueur SH

3. 
a. Démontrer que la droite SH est perpendiculaire à la droite (BC)
b. Calculer l'aire latérale de la pyramide

Réponses
1. V  = (Aire de la base x Hauteur) / 3 = (18 x 18 x 12)/3 = 1 296 cm3

2. 
a. Dans le triangle ABC, le segment qui joint le milieu du 2ème côté est égale à la moitié du 3ème côté. 
Donc [OH] = [AB]/2 = 18/2 = 9cm

b. On sait que le triangle SOH est rectangle en O et SH est l'hypoténuse. 
On applique le théorème de Pythagore.
Donc SH2 = OH2+OS2 = 92+122 = 81x144 = 225
SH = racine carré de 225 = 15cm

3. 
a. On sait que le triangle BSC est isocèle. SH est donc la médiane. 
Or dans un triangle isocèle ou équilatéral, la médiane relative à la base est aussi la hauteur relative à la base. 
Donc (SH) est perpendiculaire à (BC)

b. Dans une pyramide à base régulière, chaque face latérale est un triangle isocèle. 
Donc l'aire d'une face latéral = (base x hauteur) / 2 = (18x15)/2 = 135 cm2

Or il y a 4 faces latérales donc 135x4 = 540 cm2

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